ANÁLISIS DE EFICIENCIA DE LAS AFORES: APLICACIÓN DEL
ANÁLISIS DEA JUNTO AL ANÁLISIS MULTIVARIANTE.
Contreras Rubio, Ignacio.
Guerrero Casas, Flor Mª .
Paralera Morales, Concepción.
Departamento de Economía y Empresa.
Universidad Pablo de Olavide.
Resumen:
Tras más de tres años de funcionamiento del nuevo sistema de pensiones mejicano,
iniciado en julio de 1997, cabe preguntarse por la eficiencia en la actuación de las
entidades a las que se confía la gestión de los fondos. En el presente trabajo se aplica la
técnica de análisis DEA a variables escogidas para el último período disponible,
completando y comparando los resultados con los obtenidos de técnicas de análisis
multivariante.
Palabras clave : Análisis multivariante, DEA, eficiencia, pensiones.
Contreras, I., Guerrero, F.M., Paralera, C. Análisis de Eficiencia de las AFORES
1. INTRODUCCIÓN.
En julio de 1997 se pone en marcha el nuevo sistema de pensiones mejicano SAR-97
Sistema de Ahorro para el Retiro de julio de 1997), última de las reformas estructurales
llevadas a cabo en Latinoamérica. Con ella, se pone fin a un sistema tradicional de
reparto y se opta por un sistema de capitalización individual en el que los trabajadores
realizan aportaciones bimensuales en entidades financieras privadas, Administradoras
de Fondos para el Retiro (AFOREs) que se encargan de la custodia en inversión de
dichos fondos, a través de sociedades de inversión propias (SIEFOREs) con el fin de
dotar a cada afiliado de la mejor financiación posible de su retiro.
El nuevo sistema, como se dijo, basa su funcionamiento en la actividad de entidades
privadas en régimen de competencia dentro del mercado. Cada Administradora compite
con las demás en la atracción de afiliados a través de la oferta de mejores rendimientos
por las imposiciones y mejores comisiones por los servicios financieros prestados. Con
los datos disponibles en la actualidad, cuando han transcurrido ya más de tres años y
medio del inicio del nuevo sistema, cabe preguntarse por la eficiencia relativa de las
Administradoras, en tanto todas ellas han contado con un conjunto similar de inputs
para su actividad productiva, inputs que en el presente trabajo aparecen representados
por los recursos, directos e indirectos, con los que cuenta la entidad para su actividad
financiera, y han generado como resultado un conjunto de outputs, que en este caso
vienen dados por los resultados financieros ofrecidos por las Administradoras (de los
que se benefician sus afiliados).
Para ello, se ha realizado un análisis de la eficiencia relativa de las Administradoras a
través del análisis DEA, que calificará inicialmente a las mismas como eficientes o no
eficientes, para completar este análisis mediante técnicas de análisis multivariante;
comparando y completando los resultados obtenidos en cada caso.
2. VARIABLES UTILIZADAS EN EL ESTUDIO.
Todos los datos utilizados son los publicados por la CONSAR (Comisión Nacional para
el Sistema de Ahorro para el Retiro) y corresponden al cierre contable de diciembre.
Así, las variables acumuladas recogen datos desde el inicio del nuevo SAR hasta finales
de diciembre de 2000; las variables anuales (como son los indicadores de rendimiento)
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se refieren a valor acumulado del último año. En cualquier caso, el análisis de eficiencia
se pretende realizar para los resultados del último mes.
· Rendimiento de gestión de las AFOREs: rendimiento nominal calculado en base al
incremento del precio experimentado por las SIEFOREs.
· Indicador de rendimiento neto: rendimiento real acumulado que podrá recibir un
trabajador si se mantienen los rendimientos de gestión obtenidos por las SIEFOREs
en los doce meses anteriores así como la estructura y valor de las comisiones
aplicadas por un período de 25 años, por lo que se trata de una rentabilidad
proyectada en el tiempo. Este indicador refleja tanto cambios en el valor de los
rendimientos nominales como de las comisiones cobradas por las Administradoras..
· Número de trabajadores afiliados: número total, incluyendo a los trabajadores
afiliados a cada Administradora que no realizan ninguna aportación.
· Aportaciones totales (expresadas en millones de pesos): variable que recoge el
conjunto de las aportaciones, aportaciones obligatorias al seguro RCV (Retiro, Vejez
y Cesantía), aportaciones obligatorias al Seguro de Vivienda y aportaciones
voluntarias de los trabajadores correspondientes al último mes contabilizadoi.
· Aportaciones promedio por trabajador registrado con aportación (pesos): recoge de
forma indirecta el efecto que el conjunto de trabajadores sin aportación ejerce sobre
el conjunto total de trabajadores, no es por tanto un cociente simple de los valores
de las dos variables anteriores.
· Fondos acumulados por los trabajadores (millones de pesos): suma de las
aportaciones a los seguros antes citados capitalizadas durante la vida del nuevo
sistema de previsión (julio de 1997-diciembre de 2000).
Los datos analizados se recogen en la Tabla 1 .
3. ANÁLISIS DEA.
El análisis DEA, Data Envelopment Analysis es una técnica matemática de análisis de
eficiencia relativa encuadrada como modelo multicriterio dentro de los modelos
multiobjetivo, que, originariamente, buscan realizar un análisis de eficiencia relativa en
un conjunto de unidades. El origen de los estudios de eficiencias se sitúa en Farrel
(1957) pero son los trabajos de Charnes, Cooper y Rhodes (1989) los que desarrollan
esta técnica de análisis.
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El DEA pretende determinar una frontera eficiente, un lugar geométrico o conjunto de
valores solución que dominan, envuelven, al resto de valores analizados. Cada valor
situado en la frontera de eficiencia es considerado una unidad de decisión, una DMU
(Decisión Making Unit), eficiente, mientras que el resto, situadas "dentro" del conjunto
limitado por dicho conjunto eficiente, son catalogadas como ineficientes.
Consideramos un caso general en el que n unidades producen un conjunto de outputs
representados por la matriz y, la columna j-ésima de dicha matriz, denotada por yj,
representa los valores de los outputs producidos por la unidad j. Análogamente se
definen la matriz x y sus correspondientes columnas para los inputs utilizados. Tanto la
matriz de inputs consumidos como de outputs producidos son matrices de términos
positivos.
La valoración de la eficiencia técnica de cada unidad se realiza a través del
(para la unidad 0 de referencia) es decir, el cociente entre el valor del
output producido, representado por el vector y0 ponderado por el vector de precios u0, y
el valor total de los inputs consumidos en el proceso valorados según el vector de
precios o valores v0. En cada caso, el subíndice representa cada una de las unidades
analizadas, el cociente se calcula en el mejor de los casos posibles para la unidad
analizada. Es decir, consideramos como dados los vectores de cantidades, tanto de
inputs como de outputs, y buscamos los vectores de valoración de los mismos que
sitúen a la unidad en la mejor de las situaciones posibles respecto al conjunto de
unidades de referencia (además de a una serie de restricciones para acotar el valor de
dicha eficiencia).
Se trata pues de un análisis de eficiencia relativa por lo que la valoración de dicho
cociente se hace en comparación con el valor del mismo para el resto de unidades
analizadas y a la luz de los datos presentadosii.
La técnica utiliza para tal propósito la programación lineal, resolviendo para cada una
de las unidades un problema como el planteado en
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A cada unidad le corresponde un sistema análogo (el modelo representa el programa
r
correspondiente a la unidad 0 de referencia). En la notación, 
representa un vector del
y 
es un infinitésimo no arquimediano.
El modelo seleccionado es un modelo orientado el output, es decir, una unidad es
considerada ineficiente si es posible obtener mayor cantidad de output manteniendo
constantes las unidades de inputiii. En este caso, consideramos como dados los recursos
con los que cuenta cada Administradora y buscamos saber, como se verá ahora, el valor
de output eficiente para dicho vector. Es igualmente un modelo en el que se consideran
rendimientos a escala variable (VRS). Hemos optado pues por un modelo más general
frente a la posibilidad de rendimientos a escala constante (CRS), modelo que no es más
que un caso concreto del anterior.
La salida del análisis DEA ofrece por un lado un score o valor de eficiencia,
representado por en la formulación, igual a 1 para aquellas unidades consideradas
eficientes por el análisis, y menores a uno para las ineficientes. Además, la distancia con
la unidad de este valor refleja la distancia radial de la unidad ineficiente a la frontera de
eficiencia calculada.
Por último, para cada unidad eficiente se ofrecen unidades de referencia o unidades
objetivos (Bechmarks), construidas como combinaciones convexas de las unidades
eficientes que ofrecen valores objetivos para el vector de output a las unidades
ineficientes. En este punto hay que destacar la no unicidad de las soluciones del análisis:
DEA ofrece uno de las posibles conjunto de soluciones eficientes para u y v, no así para
los valores de eficiencia que si son únicos, Por tanto, depende de qué paquete
informático se utilice para la resolución de los problemas de programación lineal
obtendremos una u otro solución posible para las unidades virtuales.
El resultado ofrecido por el programa DEAPiv se resume en la Tabla 2.
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Las conclusiones que pueden extraerse del resultado de DEA son, en síntesis, las
siguientes:
· Las unidades consideradas eficientes en relación al conjunto analizado son las
unidades 1, 7, 11, 12 y 13; el resto se consideran ineficientes.
· Para cada unidad ineficiente se presenta una unidad de referencia, construida como
combinación convexa de unidades de la frontera de eficiencia y cuya ponderación en
dicha combinación coincide con los precios sombra del problema de programación
lineal. Analíticamente, la unidad de referencia u objetivo viene dada
por:
donde s representa el valor de las variables de holgura del
problema. En este caso, sólo se incluyen los valores objetivos para el output en tanto
el modelo considerado ve los valores de input como dados y los de output como
valores controlados por la empresa y por tanto modificables.
· Se incluyen las unidades eficientes para el caso concreto de rendimientos a escala
constante, así como la evaluación de qué parte de eficiencia viene dada por la
capacidad técnica y que parte por la escala, cociente de escala.
· Si se desea realizar una ordenación de las unidades evaluadas en función de su grado
de eficiencia, para el caso de las unidades eficientes, en las que todos los valores son
igual a uno, el criterio de ordenación sería el número de veces que esa unidad forma
parte de una unidad virtual.
4. ANÁLISIS FACTORIAL
El análisis factorial es una técnica para representar las variables en un espacio de
pequeña dimensión, que permita interpretar las relaciones entre ellas. Nos facilitará,
además, el análisis de las similitudes entre los elementos de la muestra respecto a su
comportamiento en el conjunto de variables. Si, además, pueden detectarse
subconjuntos claramente diferenciados de variables en los que, por un lado dentro de
cada uno las variables estén muy relacionadas entre sí, y por otro, las variables de los
distintos subconjuntos no presenten ninguna relación, el conjunto podrá ser simplificado
a un nuevo conjunto de variables , no directamente observables, llamadas factores, de
tal forma que cada factor represente la información que tienen en común las variables
pertenecientes a un mismo subconjunto.
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Contreras, I., Guerrero, F.M., Paralera, C. Análisis de Eficiencia de las AFORES
En el presente modelo no se persigue la reducción de variables mediante la aplicación
del análisis factorial, se pretende la identificación de conjuntos homogéneos de
variables que justifiquen el análisis DEA, para el que se clasifican las variables en dos
grandes grupos.
A través de la matriz de correlaciones que ofrece SPSS puede verse como las variables
que están más correlacionadas, como era de esperar, son: Rendimiento con Rendimiento
neto, Trabajadores con Fondos acumulados y Aportaciones con Fondos acumulados.
Ahora hay que determinar aquel valor de factores (k) tal que al proyectar la nube de
puntos en el subespacio correspondiente, permita interpretar las relaciones entre las
variables. El inconveniente que surge en la elección de k es que cuanto menor sea su
valor, menor será la calidad de la representación. Aplicando un análisis para tres
factores y utilizando la rotación Varimax, obtenemos:
El objetivo de la rotación de las componentes es obtener una solución más interpretable,
en el sentido en que variables fuertemente correlacionadas entre sí presenten
saturaciones altas (en valor absoluto) sobre una misma componente y bajas sobre el
resto.
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Observando la matriz de componentes rotados, vemos que las variables Rendimiento y
Rendimiento neto quedan muy bien explicadas por la segunda componente, las
variables Trabajadores, Aportaciones y Fondos acumulados por la primera componente
y la variable Aportaciones promedio está desplazada y queda explicada por la tercera
componente.
La representación de las componentes en el espacio rotado queda:
Del anterior análisis puede verse como las seis variables presentadas quedan bien
representadas por tres factores. El segundo factor, el más fácilmente identificable,
agrupa a las dos variables de rendimiento, es decir agrupa el valor conjunto del output
de cada Administradora. El primer factor agrupa a tres de las cuatro variables de input,
recoge la influencia de los inputs más "cuantitativos" del análisis. Por último, el tercero
de los factores, variable Aportación promedio, recoge de alguna forma los aspectos
cualitativos del input. En dicha variable se recoge de manera indirecta el efecto negativo
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que supone para las Administradoras la existencia de un conjunto de trabajadores
afiliados y que no realizan aportaciones, conjunto que varía entre el 5 y el 8% según la
Administradora, por las diferencias de los valores promedio con la ratio simple de
aportaciones totales y trabajadores registrados reflejaría este efecto.
De cualquier manera, puede concluirse la coherencia de separar las variables en inputs y
otuputs tal y como se hizo en el análisis DEA.
5. ANÁLISIS DISCRIMINANTE.
Realizamos ahora un análisis discriminante con el conjunto de variables que se
describieron inicialmente incluyendo, además, la variable Eficiencia generada por el
análisis DEA, necesaria para poder desarrollar la clasificación posterior.
El análisis discriminante trata de obtener una función lineal de varias variables
independientes tales que sus valores permitan estimar la probabilidad de pertenecer a
cada uno de los grupos establecidos por los valores de la variable dependiente. A partir
de dichas probabilidades, un individuo será clasificado en el grupo para el que presente
mayor probabilidad.
En el análisis discriminante puede seleccionarse aquel subconjunto de las variables
independientes que más discrimine los grupos establecidos por los valores de la variable
dependiente. Lo adecuado sería que al representar el conjunto de toda la muestra en el
subespacio generado por todas las variables, por un lado los centros de los grupos estén
muy separados entre sí, y dentro de cada grupo el comportamiento fuera muy
homogéneo, con valores poco dispersos y próximos al centro.
El criterio que consideramos para la selección de variables es el de la Lambda de Wilks.
La Lambda de Wilks para un conjunto de variables independientes, mide las
desviaciones dentro de cada grupo respecto a las desviaciones totales sin distinguir
grupos.
La correlación canónica y el autovalor asociado a la función discriminante son dos
medidas relacionadas con la Lambda de Wilks, que permitirá evaluar la información
que aportará la función discriminante.
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Contreras, I., Guerrero, F.M., Paralera, C. Análisis de Eficiencia de las AFORES
La correlación canónica mide las desviaciones de las puntuaciones discriminantes entre
grupos respecto a las desviaciones totales sin distinguir grupos. El autovalor mide las
desviaciones de las puntuaciones discriminantes entre los grupos respecto a las
desviaciones dentro de los grupos. En ambos casos si el valor obtenido es grande (en
caso de la correlación canónica próximo a 1) la dispersión será debida a la diferencia
entre grupos y en consecuencia, la función discriminará mucho los grupos.
La clasificación de los individuos se realizará a partir de las funciones discriminantes
tipificadas o lo que es lo mismo, de las funciones discriminantes expresadas en
términos de las variables independientes tipificadas.
El porcentaje de los casos correctamente clasificados será un índice de la efectividad de
la función discriminante; los coeficientes estandarizados de la función discriminante
canónica se resumen en la siguiente tabla:
Al evaluar este índice se han tenido en cuente las probabilidades a priori, que como no
son conocidas, se considera que todos los grupos tienen la misma probabilidad.
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Contreras, I., Guerrero, F.M., Paralera, C. Análisis de Eficiencia de las AFORES
Puede verse como la clasificación realizada con DEA coincide plenamente en la
calificación de unidades eficientes con la que realizaría el análisis discriminante, no así
la clasificación de unidades ineficientes en las que el análisis DEA se muestra más
estricto que el análisis discriminante (dos unidades consideradas ineficientes son ahora
catalogadas como eficientes).
6. CONCLUSIONES.
Se ha analizado la eficiencia relativa de las AFOREs a través de los resultados
financieros ofrecidos por las mismas a sus afilizados. El análisis de dicha eficiencia
relativa se ha efectuado para las trece Administradoras que operan en la actualidad a
través del análisis DEA, dando lugar a cinco unidades eficientes y el resto ineficientes.
Cada unidad ineficiente se representa como combinación convexa de unidades de la
frontera eficiente.
El anterior estudio se completa por un lado con un análisis Factorial que permite
agrupar las entidades según tres variables o factores, no observables directamente y
cuyo significado se interpreta en el apartado correspondiente. Posteriormente, a través
de un análisis Discriminante realizado sobre el conjunto de las variables más la variable
Eficiencia generada por DEA, se llega a una clasificación de las Administradoras
coincidente con la anterior sobre las unidades eficientes, pero no tan estricta sobre
unidades ineficentes.
7. BIBLIOGRAFÍA.
Banco Nacional de Méjico (1996) "Administradoras de Fondos para el Retiro. Reforma
en Méjico y los ejemplos chileno y argentino". BNM, Méjico D.F:
Charnes, A., Cooper, W.W., Rhodes, E. (1978) "Measuring the efficciency of decision
makings units" European Journal of Operational Research.
Coelli, T. (1996) "A guide to DEAP v 2.1: A Data Envelopment Analysis (Computer)
Program". CEPA Working Paper 96/08.
Cuadras, C.M. (1996) "Métodos de Análisis Multivariante". Ed. EUB.
Hair, J.F. Tatham, R.L. Black, W.C (1999)."Análisis Multivariante". Prentice Hall.
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Contreras, I., Guerrero, F.M., Paralera, C. Análisis de Eficiencia de las AFORES
Mesa Lago, C. (1997) "Análisis comparativo de la reforma estructural de pensiones en
ocho países latinoamericanos". ILO, Ginebra.
Rodriguez, J.A. (1998). "Sistemas de pensiones en Méjico". CONSAR, Guadalupe,
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Sales Sarrapy, C. y Solis Salmerón, F. (1996) "Pension reform: the mexican case".
NBER, Cambridge.
Uriel, E. (1995) "Análisis de Datos. Series Temporales y Análisis Multivariante" Ed.
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Visauta Vinacua, B (1998) "Análisis Estadístico con SPSS para Windows. Vol II:
Estadística Multivariante" McGraw-Hill.
ii Aportación correspondiente a diciembre de 2000 que sirve como referencia para el conjunto de
aportaciones realizadas.
ii Tal como se plantea DEA es una técnica "value free" en el sentido de que la evaluación de la eficiencia
se hace exclusivamente en base a los datos, las prioridades o preferencias del agente decisor no
intervienen en el análisis. Son muchas las extensiones de este análisis, algunas de ellas como el Value
Eficiency Analysis encaminadas a incorporar las preferencias del agente decisor en el estudio.
iii De igual manera se podría haber considerado un modelo orientado al input, en este caso se consideran
como dadas las cantidades de output y variamos el vector de input.
iv Coelli, T (1996)
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Contreras, I., Guerrero, F.M., Paralera, C. Análisis de Eficiencia de las AFORES
Tabla 2: Resultados del análisis DEA
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